پاسخ فعالیت صفحه 19 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این فعالیت مربوط به محاسبهٔ احتمال **پیشامد غیرممکن (Impossible Event)** است. احتمال وقوع یک پیشامد $\mathbf{A}$ با فرمول کلاسیک زیر محاسبه می‌شود: $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})}$$ که $\mathbf{n}(\mathbf{A})$ تعداد اعضای پیشامد $\mathbf{A}$ و $\mathbf{n}(\mathbf{S})$ تعداد اعضای فضای نمونه است. اگر پیشامد $\mathbf{A}$ نشدنی باشد، یعنی هیچ عضوی نداشته باشد ($\\mathbf{\mathbf{A} = \emptyset}$)، در این صورت: * $\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 0$ **محاسبه:** $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \frac{0}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \mathbf{0}$$ **نتیجه:** احتمال وقوع یک پیشامد نشدنی (غیرممکن) همیشه $\mathbf{0}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این فعالیت مربوط به محاسبهٔ احتمال **پیشامد حتمی (Certain Event)** است. اگر پیشامد $\mathbf{A}$ حتمی باشد، به این معنی است که $\mathbf{A}$ شامل **تمام** برآمدهای فضای نمونه $\mathbf{S}$ است ($\\mathbf{\mathbf{A} = \mathbf{S}}$). * $\mathbf{n}(\mathbf{A}) = \mathbf{n}(\mathbf{S})$ **محاسبه:** $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{S})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \mathbf{1}$$ **نتیجه:** احتمال وقوع یک پیشامد حتمی همیشه $\mathbf{1}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این فعالیت به شما نشان می‌دهد که اگر یک پیشامد ($\\mathbf{A}$) **زیرمجموعه** پیشامد دیگری ($\\mathbf{B}$) باشد، احتمال وقوع $\\mathbf{A}$ هرگز از احتمال وقوع $\\mathbf{B}$ بیشتر نخواهد شد. (خاصیت **یکنواختی** احتمال) * **مقدمه:** $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ (همهٔ اعضای $\mathbf{A}$ در $\mathbf{B}$ هم هستند). 1. **نتیجهٔ اول:** تعداد اعضای $\mathbf{A}$ نمی‌تواند از تعداد اعضای $\mathbf{B}$ بیشتر باشد. $$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{n}(\mathbf{A}) \le \mathbf{n}(\mathbf{B})$$ 2. **نتیجهٔ دوم:** با تقسیم هر دو طرف نامساوی بر $\mathbf{n}(\mathbf{S})$ (که یک عدد مثبت است)، جهت نامساوی تغییر نمی‌کند. $$\frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} \le \frac{\mathbf{n}(\mathbf{B})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})}$$ 3. **نتیجهٔ سوم:** با جایگزینی تعریف احتمال ($\\mathbf{P}(\mathbf{X}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{X})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})}$) خواهیم داشت: $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) \le \mathbf{P}(\mathbf{B})$$ **تکمیل جای خالی:** $$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{n}(\mathbf{A}) \le \mathbf{\mathbf{n}(\mathbf{B})} \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} \le \mathbf{\frac{\mathbf{n}(\mathbf{B})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})}} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{P}(\mathbf{A}) \le \mathbf{P}(\mathbf{B})$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این نتیجه‌گیری، **خاصیت بنیادی (اصل موضوع)** احتمال است که مقدار احتمال را محدود می‌کند. **توضیح منطقی:** 1. **حد پایین (با توجه به فعالیت ۱):** $\mathbf{A}$ همیشه شامل مجموعه‌ تهی ($\\emptyset$) است ($\\emptyset \subseteq \mathbf{A}$). از خاصیت ۳ می‌دانیم که $\mathbf{P}(\emptyset) \le \mathbf{P}(\mathbf{A})$ و از فعالیت ۱ می‌دانیم که $\mathbf{P}(\emptyset) = 0$. پس: $\mathbf{0 \le \mathbf{P}(\mathbf{A})}$. 2. **حد بالا (با توجه به فعالیت ۲):** $\mathbf{A}$ همیشه زیرمجموعهٔ فضای نمونه $\mathbf{S}$ است ($\\mathbf{A} \subseteq \mathbf{S}$). از خاصیت ۳ می‌دانیم که $\mathbf{P}(\mathbf{A}) \le \mathbf{P}(\mathbf{S})$ و از فعالیت ۲ می‌دانیم که $\mathbf{P}(\mathbf{S}) = 1$. پس: $\mathbf{P}(\mathbf{A}) \le 1$. **نتیجه:** احتمال وقوع هر پیشامد دلخواه $\mathbf{A}$، یک عدد حقیقی بین $\mathbf{0}$ و $\mathbf{1}$ است. $$\mathbf{0 \le \mathbf{P}(\mathbf{A}) \le 1}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۵ صفحه ۱۹ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این فعالیت مربوط به **اصل جمع احتمال (Addition Rule for Probability)** برای پیشامدهای **ناسازگار** است. پیشامدهای ناسازگار، پیشامدهایی هستند که **اشتراک آن‌ها تهی است** ($\\mathbf{\mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset}$) و نمی‌توانند همزمان رخ دهند. ### ۱. اصل جمع برای تعداد اعضا ($athbf{n}$) در مجموعه‌های ناسازگار، تعداد اعضای اجتماع، صرفاً مجموع تعداد اعضای آن‌ها است. $$\mathbf{n}(\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) = \mathbf{n}(\mathbf{A}) + \mathbf{\mathbf{n}(\mathbf{B})}$$ ### ۲. تبدیل به احتمال ($athbf{P}$) با تقسیم تمام جملات بر $\mathbf{n}(\mathbf{S})$، قانون را به احتمال تبدیل می‌کنیم: $$\frac{\mathbf{n}(\mathbf{A} \cup \mathbf{B})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} + \mathbf{\frac{\mathbf{n}(\mathbf{B})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})}}$$ ### ۳. بیان نهایی اصل جمع احتمال با استفاده از تعریف احتمال ($\\mathbf{P}(\mathbf{X}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{X})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})}$) عبارت نهایی به دست می‌آید: $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) = \mathbf{P}(\mathbf{A}) + \mathbf{\mathbf{P}(\mathbf{B})}$$ **نتیجه:** احتمال وقوع $athbf{A}$ **یا** $athbf{B}$ (در صورت ناسازگار بودن) برابر است با **مجموع احتمال وقوع هر یک از آن‌ها**.